la démonstration

LA RAISON : LA DEMONSTRATION

 

 

INTRODUCTION

 

 

La raison est une des facultés de connaissance avec les sens ou encore l’imagination. Nous allons étudier précisément le pouvoir de cette faculté. J’ajoute que cette notion est centrale dans votre apprentissage de la philosophie. Nous avons déjà parlé de principes architectoniques de la raison. Entre autres du principe de raison suffisante qui dit que “rien n’est sans cause”; et le principe de non-contradiction qui dit que l’on  ne peut pas affirmer d’une chose une propriété et son contraire. Par exemple cette craie ne peut pas être à la fois blanche et noire en même temps. Nous avons vu aussi que l’expérience sensible a souvent paru quelque peu décevante à l’égard de l’exigence logique de la raison. C’est pour cela que les philosophes ont postulés ou imaginés des réalités qui soient conformes au principe de contradiction, qui soit toujours identiques. Pour Descartes, cette identité, le fait que la même cire demeure malgré la multiplicité des apparences sensibles, est assurée par l’extension, ou ce qu’il l’appelle la substance étendue. Celle-ci n’est pas un objet des sens mais bien une sorte d’objet rationnel ou de chose intelligible qui constitue l’objet propre de la géométrie puis de la physique.

Le mot raison vient du latin “ratio”, “rationis”, qui signifie calcul et de manière dérivée raisonnement. La raison est la faculté que nous avons de raisonner, de calculer. On peut donc dire qu’il y a un usage théorique de la raison. Nous verrons plus tard qu’il peut y avoir un usage morale de la raison. C’est Emmanuel Kant qui va distinguer ces deux usages. L’usage pratique de la raison est la capacité que nous avons de lutter contre nos passions ou nos impulsions. Elle permet aussi de calculer les conséquences d’un acte, de peser le pour et le contre et ainsi de prendre la décision qui nous paraît la meilleure. L’usage théorique correspond à ce que l’on appelle le “rationnel”; alors que l’usage pratique correspond à l’adjectif “raisonnable”.

 

Pour le moment nous allons nous attacher à donner une description des différentes opérations rationnelles dont la raison théorique est capable.

 

Le problème que nous souhaiterions posé est le suivant.  La raison est-elle toujours synonyme de vérité et de logique ? N’est-elle pas la source de contradictions insolubles et de questions sans réponse ? Par exemple les mathématiques utilisent des démonstrations pour garantir la vérité des théorèmes. Or la démonstration est bien une opération rationnelle, déductive plus précisément. Mais la raison, dans son exigence de logique, n’a t’elle pas une tendance naturelle à dépasser l’expérience et finalement à se contredire elle-même ?  Autrement dit l’excès de raison ne tue-t-il pas la raison ?

 

 

 

A/ La logique du raisonnement.

 

Tout raisonnement se présente comme le fait  d’enchaîner des éléments entre eux, par un lien logique, autrement dit une relation d’évidence. Le but du raisonnement est de parvenir à une conclusion. Cela signifie que chaque lien tissé par l’esprit entre la proposition qui précède et celle qui suit s’impose d’elle-même. La relation d’évidence, qui lie chaque proposition d’un raisonnement, est fondée sur la logique qu’on a pu définir comme la grammaire universelle de toute espèce de raisonnement.

La logique, comme discipline scientifique, est née avec Aristote et avec son ambition de mettre au jour les présupposés qui imposent à notre esprit sa cohérence, qui permet les connexions logiques évidentes entre les axiomes.

Aristote va mettre au jour dans la Métaphysique, l’axiome des axiomes, celui dont nous avons déjà dit qu’il dirigeait tout usage théorique de la raison, je veux bien sûr parler, du principe de non-contradiction. Ce principe se définit précisément ainsi :

“Il est impossible qu’un même attribut appartienne et n’appartienne pas en même temps, au même sujet et sous le même rapport.”

De ce principe découle logiquement deux  autres principes. Le principe d’identité dit que A = A, A est A. Le principe du tiers exclu dit que si une proposition est vraie, alors sa contradictoire est fausse. Logique ! De ces trois principes de base découlent toutes les relations logiques entre deux ou plusieurs éléments comme la transitivité, la réflexivité ou le relation symétrique.

En outre, selon le point de départ du raisonnement, il nous apparaît qu’il existe deux types principaux de raisonnements : la déduction et l’induction.

La déduction part du cas général pour en tirer un cas particulier. le raisonnement déductif est analytique, en tant qu’il ne dit rien de plus dans ces conclusions que dans les prémisses qui contiennent, en quelque sorte, les conclusions en elles. Ce type de raisonnement ne fait que déployer, expliciter les liens qui sont contenus dans les prémisses. Pour le dire autrement, le raisonnement déductif est purement tautologique ou a priori et sa valeur de vérité est purement formelle.

L’induction part au contraire du particulier pour remonter au cas général. ce type de raisonnement est purement synthétique. Il implique une relation à l’expérience, à la réalité matérielle de notre monde.

Pour finir, toutes les sciences, toutes les disciplines, activités rationnelles ont recours à ces deux types de ra            isonnements. Il faut distinguer deux types de sciences. les sciences déductives comme la logique et les mathématiques. Ce sont ce que l’on appelle aussi “des sciences pures”, ne visant qu’une vérité abstraite et formelle. Les autres sciences sont les sciences dites expérimentales, comprises comme sciences de al nature ou sciences de l’homme. Elles ont un rapport privilégié avec le monde réel.

 

 

B/ Le raisonnement déductif.

 

a/ Le syllogisme démonstratif.

 

D’abord il faut préciser que le modèle de toute connaissance scientifique pour Aristote est le syllogisme. Dans les Seconds Analytiques, I, 2, 71b9, Aristote explique que toute connaissance scientifique, ou la science d’une chose, c’est de connaître la cause de cette chose. Et savoir c’est dit-il “connaître parle moyen de la démonstration.

Par démonstration, j’entends le syllogisme scientifique, et j’appelle scientifique, un syllogisme dont la possession même constitue pour nous la science.(…) il est nécessaire aussi que la science démonstrative parte de prémisses qui soient vraies, premières, immédiates, plus connues que la conclusion, antérieures à elle, et dont elles sont les causes.”

Le syllogisme est donc un modèle de raisonnement logique. Il est constitué de deux prémisses, majeure et mineure. De ces deux prémisses est tirée une conclusion. Exemple simple et connu :

 

Tous les hommes sont mortels,

Socrate est un homme,

Donc Socrate est mortel.

 

Nous voyons que la déduction syllogistique s’organise autour d’ensembles s’incluant mutuellement. Dans la majeure sont énoncés deux ensembles larges, l’un étant inclus dans l’autre. Dans la mineure il y a le plus souvent l’énonciation d’un élément appartenant à l’ensemble le plus étroit des prémisses majeures. La conclusion est évidente, l’élément appartenant à l’ensemble le plus étroit appartient aussi à l’ensemble le plus large.

On peut s’exercer sur d’autres exemples…

 

Tout ce qui est rare est cher,

Un cheval bon marché est rare,

Un cheval bon marché est cher.  Conclusion formellement vraie.

 

Aucun mammifère n’a de bec,

Tout ce qui est avec vole,

Aucun mammifère ne vole.             Conclusion formellement fausse.

 

Un homme est l’auteur de l’Iliade,

Homère est un homme,

Homère est l’auteur de l’Iliade.   Conclusion fausse.

 

Quelques déductions logiques sont vraies,

Toutes les déductions logiques sont simples,

Quelques déductions logiques vraies sont simples. Conclusion vraie.

 

Aucun allemand n’est indien,

Aucun indien n’est chrétien,

Tous les allemands sont chrétiens.   Conclusion formellement fausse.

 

 

b/ La logique symbolique.

 

             Ce qu’il faut ici souligner c’est que la vérité de la conclusion dépend de la validité formelle du raisonnement . Comme le note Blanché dans le texte 1 p. 240-241, il ne faut pas confondre la validité d’un raisonnement avec la vérité matérielle des propositions. Un raisonnement est valide selon sa forme. La logique , à ce titre, ne s’intéresse qu’à la forme du raisonnement, et constitue une science ou art du raisonnement bien formé. Or qu’est-ce que cette forme ? Si nous reprenons le syllogisme avec Socrate, la validité de ce raisonnement n’est nullement lié au personnage historique puisqu’il aurait été valide aussi bien pour Alcibiade, ou Platon. Or cette indépendance de la forme du raisonnement par rapport à la vérité matérielle, va permettre d’utiliser des variables indéterminée. Par exemple, dons notre précédent syllogisme,

tous les hommes sont mortels,

x est un homme,

Donc x est mortel.

 

Ici x est ce que l’on appelle une variable individuelle. Mais on peut aller encore plus loin dans cette voie en employant des lettres symboliques- f, g – pour les concepts, ce qui donnera,

 

Tout f est g,

x est f,

Donc x est g.

 

Pour ce procédé d’abstraction, on découvre l’ossature logique ou la forme du syllogisme qui seule, répétons-le, intéresse la logique. Ici les variables peuvent être remplacées par n’importe quel objet sous la condition que x soit remplacé par un individu, et f et g par des concepts. Concluons que le raisonnement sera juste si sa forme logique est valide et ce indépendamment de la vérité matérielle des propositions.

Aussi Leibniz dira du syllogisme (texte 3 p. 242-243) qu’il est une des plus belles inventions de l’esprit humain. Qu’il constituerait un art d’infaillibilité dans la mesure bien entendu on l’on sache correctement s’en servir. Nous obtenons avec le syllogisme est un outil rationnel d’une très grande efficacité.

 

 

c/ La méthode démonstrative.

 

Pour résumer toute méthode géométrique ou démonstrative requiert deux choses fondamentales. D’abord il faut définir précisément tous les termes utilisés dans le raisonnement. Eviter donc les équivoques ou les ambiguïtés (intéressant pour un sujet sur le langage et la nécessité d’adopter une langue unique pour réunir les hommes; le symbolisme mathématique fournit un ensemble de signes qui permettent à tous les mathématiciens d’être d’accord… A creuser.). L’autre exigence de cette méthode c’est “de n’avancer jamais aucune proposition qu’on ne démontrât par des vérités déjà connues.” (texte 4 p. 243). Donc tout définir, tout démonter.

 

 

C/ Intuition et déduction.

 

Cependant peut-on tout démontrer ? Peut-on tout définir ? Il y a un risque de régression à l’infini. En effet mes définitions utilisent elles-mêmes des termes dont il faudra que je donne la définition et ainsi de suite… De même pour les premières propositions du système. Il apparaît nécessaire que la régression s’arrête sur des éléments premiers qui seraient connus immédiatement connues par eux-mêmes. Cette méthode est donc impossible telle quelle. On ne peut pas tout définir ni tout démontrer Il faut selon Pascal, bien arriver à des mots primitifs qu’il n’est plus besoin de définir “ et à des principes si clairs qu’on n’en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve.” Pascal va  tirer une conclusion sur la nature de l’homme considérant que nous sommes des êtres “impuissants” et limités dans notre rapport aux choses et à la vérité puisque l’on est obligé de s’arrêter dans la remontée vers les premiers principes et les premières définitions. Cependant il ne faut pas être totalement pessimiste sur cette question cruciale de la vérité dans la science dans la mesure où nous pouvons suivre néanmoins un ordre dans notre travail rationnel dont le modèle est l’ordre géométrique qui procède par démonstration qui nous fournit des certitudes dont on ne peut douter.

 

“Cet ordre, le plus parfait entre les hommes, consiste non pas à tout définir ou à tout démontrer,  ni aussi à ne rien définir ou à ne rien démontrer, mais àse tenir dans ce milieu de ne point définir les choses claires et entendues de tous les hommes, et de définir toutes les autres; et de ne point prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver toutes les autres.” (p.244).

 

En réalité, nous avons déjà vu que la connaissance scientifique pour Aristote ou Leibniz passe par le syllogisme, c’est-à-dire par un raisonnement formel qui permet d’établir et de garantir une conclusion vraie. Connaître, c’est donc connaître par le moyen de la démonstration. Mais comme le souligne avec justesse Aristote (Seconds analytiques, I, 2…), notre démonstration doit s’appuyer sur des vérités premières, ce qu’il appelle des prémisses “qui soient vraies, premières, immédiates, plus connues que la conclusion…”.

Il y aurait donc deux types de vérités, au moins pour la connaissance scientifique et plus particulièrement logico-mathématique : des vérités démontrées, des théorèmes en géométrie, ce qui signifie qui sont garanties par un ensemble de médiations, d’intermédiaires qui permettent d’arriver à cette conclusion : précisément les différentes étapes de la démonstration. On comprend en outre que la vérité doit être maintenue par les liens logiques du raisonnement. Si il y a une faute de raisonnement, il y aura erreur.

Mais il doit aussi y avoir des vérités immédiates qui structurent, étayent la démonstration elle-même. Par exemple des vérités logiques comme “le tout est plus grand que la partie” ou en géométrie, l’axiome qui dit que des droites parallèles ne se croisent jamais et des définitions.

 

 

Définition de l’axiome : c’est une proposition indémontrable, mais dont la valeur de vérité est évidente à tous et qui sert de fondement à tous les raisonnements ultérieurs. Exemple d’axiome : “Le tout est plus grand que la partie.”

 

Ces énoncés sont immédiatement compris ce qui signifie conçus intellectuellement, à la différence des conclusions des syllogismes qui réclament de parcourir toutes les étapes de la démonstration pour arriver à la vérité démontrée ou ce que l’on appelle un théorème. Ce sont donc des vérités indémontrables, vérités qui sont rendus nécessaires pour pouvoir faire de futures démonstrations. Pascal, dans le texte 4 page 243-244, extrait de De l’esprit géométrique, III, Chap. XV., explique que les démonstrations s’appuient sur deux types de vérités immédiatement connues, deux types d’indémontrables. D’abord les axiomes comme nous l’avons dit qui sont donc des propositions premières non démontrées, et des définitions ou les termes premiers. Par exemple en géométrie, dont parle ici Pascal, ces définitions sont celles du point, de la ligne…

Or il faut ajouter que ces axiomes ne sont pas connus par les sens extérieurs, mais qu’ils sont l’objet d’une connaissance rationnelle. Ils ne sont pas sentis, mais ils sont conçus.

 

C’est pourquoi, Descartes distingue deux types de connaissance rationnelle : l’intuition et la déduction. Il opère cette division et définit ces notions dans les Règles pour la direction de l’esprit, qui est un des premiers textes philosophiques de Descartes et où il s’interroge notamment sur les normes de la rationalité scientifique.

 

“Par intuition, j’entends, non point le témoignage instable des sens, ni le jugement trompeur de l’imagination qu opère des compositions sans valeur,mais une représentation qui est el fait de l’intelligence pure et attentive, représentation si facile et si distincte qu’il ne subsiste aucun doute sur ce que l’on y comprend…

Par déduction, nous entendons par là tout ce qui se conclut nécessairement de certaines autres choses connues avec certitude. Il a fallu procéder ainsi, parce que la plupart des choses sont l’objet d’une connaissance certaine, tout en n’étant pas par elles-mêmes évidentes…”

 

Deux types de critères de vérité sont repérables maintenant. Le premier est la démonstration qui fournit une garantie à l’énoncé déduit, qui prouve sa vérité.

Le second critère concerne les indémontrables : ce critère est celui de l’évidence. Descartes dira que c’est la clarté et la distinction qui fait la vérité d’une idée par exemple, concevoir son existence est une idée claire et distincte c’est donc une vérité. De même, Je conçois l’évidence de l’égalité de “3+1” et de “2+2”. De cette évidence je conclus la vérité de mon énocé qui pose l’égalité. Vous pouvez lire le texte 6 p.315 qui assimile le critère en question à la lumière.

Cependant ce critère de l’évidence n’est sans posé de problèmes. Comment savoir que mon idée est réellement ou authentiquement évidente, claire et distincte ? On le voie notre critère nécessiterait l’utilisation d’un critère supérieur qui garantisse le sentiment que j’ai de l’évidence de mon idée… Et rien ne s’oppose alors à ce que nous retombions une fois de plus dans une régression à l’infini.

Il faut alors déterminer des règles pour bien conduire son esprit afin de ne pas confondre une vraie évidence d’une fausse évidence.

 

 

D/ Les axiomatiques.

 

 

            La notion de fondement. On parle de sciences “hypothético-déductives”. Deux sortes d’hypothèses; soit des propositions démontrées, soit des propositions non démontrées et qu’on tient pour premières du fait de leur évidence intrinsèque. La vérité d’une conclusion -CQFD- dépendra donc à la fois de la rigueur de la déduction et du bien-fondé des hypothèses qui ont servi de point de départ.

 

Or ce recours aux hypothèses est une fragilité de cette démarche scientifique. Platon dans la République (livre VI), va distinguer les connaissances discursives ou géométriques, mathématiques qui sont imparfaites : les critiques des sceptiques “prouve ta preuve !”. Il y aurait selon lui une connaissance parfaite qu’il appelle la dialectique, qui procède non plus par supposition infondée. En effet l’évidence des premières propositions seraient sources d’obstacles épistémologiques. Platon oppose les sciences discursives ou “hypothétiques” et le savoir absolu qui est “anhypothétique”, car il remonte au principe lui-même, s’établit en lui et fournit ainsi un fondement décisif à la science. Descartes, dans la seconde des Méditations métaphysiques, opère de la même façon  et se souvient d’Archimède qui “tirer le globe terrestre de sa place et le transporter en un autre lieu, ne demandait rien qu’un point qui fût fixe et assuré”.  Ainsi serait-on en droit “de concevoir de hautes espérances”, si l’on était “assez heureux pour trouver seulement une chose qui soit certaine et indubitable”. Nous savons que c’est au terme d’une enquête métaphysique que Descartes va trouver une certitude absolue, une idée parfaitement clair et distincte : le cogito… Cette certitude va servir de fondement au savoir et en premier lieu aux Mathématiques elles-mêmes.

 

La crise des fondements. Cantor, dans ses travaux, a tenté de fournir un fondement interne aux mathématiques, de manière que la science puisse se passer des évidences “fondamentales” de la métaphysique et des ressources douteuses de l’intuition intellectuelle. L’arithmétique des nombres finis pouvait en effet fournir une “théorie des ensembles” (celui des ensembles dénombrables); et dans la mesure où l’édifice mathématique tout entier se laissait construire à partir de cette arithmétique, il a semblé pour un temps qu’on était parvenu à remédier aux imperfections des mathématiques “anciennes”critiquées pour la faiblesse de leurs fondements. D’où de 1880 à 1930 un effort très notable pour fonder le plus rigoureusement possible les mathématiques (Frege, Hilbert…).

Mais cet effort va déboucher sur ce que l’on appelle la “crise des fondements”. Elle a son origine dans le caractère paradoxal de la nouvelle théorie des ensembles sur laquelle les entreprises “fondatrices” s’appuyaient. Certaines propositions vont poser de graves problèmes : pour un logicien comme Frege, la définition du “nombre” est que c’est un “ensemble d’ensemble”.Sans rentrer dans les détails logiques de cette notion, la découverte de paradoxes va venir bouleverser le bel édifice construit par les fondationnistes. Le dilemme explicité par Bertrand Russell est celui-ci : l’ensemble de tous de tous les ensembles se contient-il lui même ? Ce paradoxe logique va ruiner tous les espoirs de Frege.

Mais les paradoxes sont aussi la source d’innovations et de recherches déterminantes en logique et en mathématiques. Russell va créer la “théorie des types” pour échapper au dilemme qu’il a lui-même découvert. Les travaux de Hilbert sont aussi un bon exemple de cette nouvelle exigence de rigueur et de recherches. Il est même très optimiste puisqu’il n’hésitera pas à dire que “tout problème mathématiquement défini est nécessairement susceptible d’une solution exacte”. Son but en 1927 est “d’éliminer une fois pour toutes les questions relatives au fondement des mathématiques”,  “en donnant aux notions et aux déductions mathématiques une forme irréfutable montrant bien l’ensemble de la science” (Fondements de la Géométrie). Mais ce programme fondationiste se heurte à partir de 1930, aux démonstrations de Gödel qui établit que tout système d’axiomatisation de l’arithmétique est nécessairement incomplet. C’est le projet d’une axiomatisation généralisée des mathématiques qui trouve ainsi ses limites. Les démonstrations de Gödel n’invalident pas l’exigence d’axiomatisation de la théorie mathématique. C’est la possibilité de les fonder de manière définitive qui est mise en cause.

 

            Un exemple d’axiomatisation : l’axiomatique de Péano. Elle a été proposé en 1899 par le mathématicien italien Péano. Elle comporte cinq axiomes :

1- Zéro est un nombre.

2- Le successeur d’un nombre est un nombre.

3- Il n’existe pas deux nombres distincts possédant le même successeur.

4- Zéro n’est le successeur d’aucun nombre.

5- Si une propriété appartient à zéro et si, lorsqu’elle appartient à un nombre quelconque, elle appartient aussi à son successeur, alors elle appartient à tous les nombres.

Ce type de construction, simple et élégante, a permis de prendre conscience du caractère variable des axiomes. On définit une axiomatique comme le système qui se construit par les conséquences qu’on tire, en se servant des seules consécutions logiques, de termes ou de propositions explicitement posés comme premiers. Les questions déterminantes deviennent alors celles qui sont propres à l’organisation d’ensemble du système : est-il “consistant” ? Est-il “complet” ou “saturé”? La “consistance”correspond au caractère non-contradictoire du système des axiomes. La “complétude“ correspond à la possibilité de démontrer l‘une ou l‘autre de toutes les propositions contradictoires   qui peuvent être formulées dans les termes du système; la “saturation”, à l’impossibilité d’introduire un nouvel axiome sans engendrer de contradictions.

Les axiomatiques tirent de leur seule forme, la vérité ou leur validité. Ce qui menace une axiomatique c’est la possible incompatibilité entre deux axiomes, leur contradiction, la non-consistance du système. Il importe de s’assurer de la consistance de ce système. Or il est impossible en même temps de déployer toutes les conséquences d’un système. Le problèmes est donc délicat.   

 

Conclusion sur l‘axiomatisation. Le développement dans la seconde moitié du 19ème siècle, de l’axiomatisation des théories mathématiques permet de renouveler ces réponses. On ne va plus considérer le caractère anhypothétique des axiomes mais on va considérer le système pris dans son ensemble. Il s’agira de s’assurer que le système est exempt de contradictions.

Cette réinterprétation va déboucher sur ce que l’on appelle le conventionnalisme. Selon cette perspective, il n’y aurait plus de principes vrais absolument. Nous n’aurions affaire qu’à des hypothèses équivalentes, entre lesquelles la seule commodité et la coutume finissent par trancher. Il deviendrait vain de spéculer sur la vérité ou les fondements ultimes. Il n’y a pas de fondement absolu, de vérité absolue qui viendrait soutenir l’ensemble de l’édifice de notre savoir.

Ludwig Wittgenstein va très loin dans cette direction, identifiant les mathématiques à une activité “grammaticale” dont l’essentiel consiste, non pas en la découverte d’un système de vérités doté d’une existence par soi, mais en une “position de règles” -calcul ou tracé- à partir desquels des objets sont engendrés. Processus de relativisation : c’est à l’intérieur d’un système de règles qu’il pourra y avoir des énoncés universels et nécessaires. L’erreur du rationalisme serait de considérer son système d’énoncés comme le seule système véritable. Par exemple jusqu’au 19ème siècle on a considéré la géométrie d’Euclide comme la seule géométrie possible. On pensait même qu’elle était naturelle et innée dans la communauté des hommes. Or au milieu du 19ème s. , les géométries non-euclidienne vont venir ébranler complètement l’édifice de nos certitudes.

Hermann Weyl en 1944, choisit de voir dans ces incertitudes une salutaire désillusion. “La question des fondements et de la signification ultime des mathématiques reste ouverte; nous ne savons pas dans quelle direction elle trouvera une solution ultime et même si une réponse finale et objective peut être attendue. Mathématiser pourrait bien constituer une activité créatrice de l’homme, comme le langage ou la musique, dont l’originalité est tout à fait fondamentale, et dont les décisions historiques défient la rationalisation objective complète.” (cité par Morris Kline in Mathématiques : la fin de la certitude, Intro.)